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【円柱座標】発散と勾配を使ってラプラシアンを求める

勉強

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課題レポートにて、円柱座標のラプラシアンを求めよという問題がでた（3度目）。 毎回思うのだが、なんでこんなめんどくさい問題を出すのか…。 おかげで休日がつぶれました。許さん。f:id:stonegod:20180607113154p:plain

Q1.円柱座標のラプラシアンを求めなさい。\\　\\ 円柱座標において\\　\\x=rcos\phi\\y=rsin\phi\\z=z\\　\\である。\\　\\ ここで、\bf{\bigtriangledown} f=\bf {e}_r\frac{\partial f}{\partial r}+\bf {e}_{\phi}\frac{1}{r}\frac{\partial f}{\partial \phi}+\bf{e}_z\frac{\partial f}{\partial z}より、\\　\\ \bf{\bigtriangledown} = \bf{e}_r\frac{\partial}{\partial r}+\bf {e}_{\phi}\frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial \phi}+\bf {e}_z\frac{\partial}{\partial z}である。 \\　\\ここで、\bigtriangledown \cdot \bf {A}=(\bf {e}_r\frac{\partial}{\partial r}+\bf{e}_{\phi}\frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial \phi}+\bf {e}_z\frac{\partial}{\partial z}) \cdot (A_r \bf{e}_r+A_{\phi} \bf{e}_{\phi}+A_z \bf{e}_z)\\　\\= \bf{e_r}\frac{\partial A_r}{\partial r}\bf e_r+\bf{e_r}\frac{\partial e_r}{\partial r}\bf A_r+\bf{e_r}\frac{\partial A_{\phi}}{\partial r}\bf e_{\phi}+\bf{e_r}\frac{\partial e_\phi}{\partial r}\bf A_\phi+\bf{e_r}\frac{\partial A_z}{\partial r}\bf {e}_z+\bf{e_r}\frac{\partial e_z}{\partial r}\bf {A}_z\\ +\bf{e_\phi}\frac{\partial A_r}{\partial \phi}\bf e_r+\bf e_{\phi}\frac{\partial e_r}{\partial \phi}\bf A_r+\bf{e_\phi}\frac{\partial A_\phi}{\partial \phi}\bf e_\phi+\bf{e_\phi}\frac{\partial e_\phi}{\partial \phi}\bf A_{\phi}+\bf e_{\phi}\frac{\partial A_z}{\partial \phi}\bf {e}_z+\bf e_ \phi \frac{\partial e_z}{\partial \phi}\bf {A}_z\\ +\bf{e_z}\frac{\partial A_r}{\partial z}\bf e_r+\bf{e_z}\frac{\partial e_r}{\partial z}\bf A_r+\bf{e_z}\frac{\partial A_{\phi}}{\partial z}\bf e_{\phi}+\bf{e_z}\frac{\partial e_\phi}{\partial z}\bf A_\phi+\bf{e_z}\frac{\partial A_z}{\partial z}\bf {e}_z+\bf{e_z}\frac{\partial e_z}{\partial z}\bf {A}_z\\　\\ ここで、\bf{e_x} = cos\phi \bf{e_r} -sin\phi \bf{e_{\phi}},\bf{e_y} = sin\phi \bf{e_r} +cos\phi \bf{e_{\phi}},\bf{e_z}=\bf{e_z}より、\\ \bf{e_r} = cos\phi \bf{e_x}+sin\phi \bf{e_y},\bf{e_{\phi}} = cos\phi \bf{e_x}-sin\phi \bf{e_y}なので、 \\　\\ \frac{\partial \bf e_r}{\partial r}=0,\frac{\partial \bf e_{\phi}}{\partial r}=0,\frac{\partial \bf e_z}{\partial r}=0,\\ \frac{\partial e_r}{\partial {\phi}}=-sin{\phi}\bf{e_x}+cos\phi e_y=\bf e_{\phi},\ \frac{\partial e_{\phi}}{\partial \phi}=-sin\phi \bf e_x-cos\phi \bf e_y=\bf -e_r,\ \frac {\partial e_z}{\partial \phi}=0\\ \frac{\partial e_r}{\partial z}=0,\frac{\partial e_\phi}{\partial z}=0,\frac{\partial e_z}{\partial z}=0\\　\\また、\bf e_r \cdot \bf e_r=\bf e_\phi \cdot \bf e_\phi=\bf e_z \cdot \bf e_z=1,\ \ \ \bf e_r \cdot \bf e_\phi=\bf e_\phi \cdot \bf e_z=\bf e_z\cdot \bf e_r=0より、\\　\\ \bigtriangledown \cdot \bf A=\frac{\partial A_r}{\partial r}+\frac{A_r}{r}+\frac{\partial A_\phi}{r\partial \phi}+\frac{\partial A_z}{\partial z}=\frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial r}(rA_r)+\frac{\partial A_\phi}{r\partial\phi}+\frac{\partial A_z}{\partial z}\\ここで、\bf{\bigtriangledown} f=\bf {e}_r\frac{\partial f}{\partial r}+\bf {e}_{\phi}\frac{1}{r}\frac{\partial f}{\partial \phi}+\bf{e}_z\frac{\partial f}{\partial z}＝A_r e_r+A_\phi e_\phi+A_z e_zとすると、\\　\\ \bigtriangledown \cdot (\bigtriangledown f)=\bigtriangleup f= \frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial r}(r\frac{\partial f}{\partial r})+\frac{1}{r^{2}}\frac{\partial^{2} f}{\partial \phi^{2}}+\frac{\partial^{2} f}{\partial z^{2}}

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