【マクスウェル方程式】電場と磁場が垂直になることの証明

f:id:stonegod:20180607112137p:plain $こんにちは\\ 今日の課題はマクスウェル方程式に関するものでした。\\ マクスウェル方程式の「マ」の字も知らないですが、頑張っていきましょう。\\　\\ \nabla \cdot \bf{E} =0\\ \nabla \cdot \bf{B} =0\\ \nabla \times \bf{E}= -\frac{\partial \bf{B}}{\partial t}\\ \nabla \times \bf{B}= -\frac{1}{c^{2}}\frac{\partial \bf{E}}{\partial t}\\　\\ のマクスウェル方程式が与えられたとき、\\　\\ \bf{E}=\bf{E_0}e^{i(\bf {k\cdot r}-\omega t)}, \bf{B}=\bf{B_0}e^{i(\bf {k\cdot r}-\omega t)}を\\ \nabla \times \bf{E}= -\frac{\partial B}{\partial t}に代入すると\\　\\ \nabla \times \bf{E}=\nabla \times \bf{E_0}e^{i(\bf{k \cdot r}-\omega t)}+\bf{E_0} \nabla \times e^{i(\bf{k \cdot r}-\omega t)}\\ =\nabla \times \bf{E_0}e^{i(\bf{k \cdot r}-\omega t)}+i\bf{E_0}\times \bf{k}e^{i(\bf{k \cdot r}-\omega t)}\\ = -\frac{\partial \bf{B_0}}{\partial t}e^{i(\bf{k \cdot r}- \omega t)}+i\bf{E_0}\times \bf{k}e^{i(\bf{k \cdot r}-\omega t)}\\ =i\bf{E_o} \times \bf{k}e^{i(\bf{k \cdot r}-\omega t)} …①\\　\\ また、\bf{B}=\bf{B_0}e^{i(\bf {k\cdot r}-\omega t)}より、これをｔで微分すると\\ -\frac{\partial \bf{B}}{\partial t}=i\bf{B_0}\omega e^{i(\bf{k \cdot r}-\omega t)}...②\\　\\ ①，②より、\bf{E_0} \times \bf{k}=\bf{B_0}\omega...③　ここから、\bf{E_0}と、\bf{k}が張る面に対して \bf{B_0}が垂直だということがわかる。\\　\\ つぎに、\\ \nabla \cdot \bf{B}=0,\nabla \cdot \bf{E}=0にも同様に代入すると、\\　\\ \nabla \cdot \bf{B}=i\bf{B_0}\cdot \bf{k} e^{i(\bf{k \cdot r}-\omega t)}=0\\ よって\bf{B_0}\cdot \bf{k}=0つまり\bf{B_0}と\bf{k}は垂直...④\\　\\ \nabla \cdot \bf{E}=i\bf{E_0}\cdot \bf{k} e^{i(\bf{k \cdot r}-\omega t)}=0\\ よって\bf{E_0}\cdot \bf{k}=0つまり\bf{E_0}と\bf{k}は垂直…⑤\\　\\ ③④⑤より、磁場\bf{B}と電場\bf{E}は垂直（\bf{B}と\bf{E}は \bf{k}に垂直で、\bf{E_0}と\bf{k}が張る面に対して \bf{B_0}が垂直なため）ということがわかる。$

鍵屋

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